三维运动学实验台 · 位置矢量与平均→瞬时

位置矢量 r(t)：从原点指向卫星

白色箭头是位置矢量，橙色是 Δt 内的平均速度（弦），青色是此刻的瞬时速度（切线）

位置空间 O–xyz

位置矢量 r

位移 Δr

平均速度 v（弦）

瞬时速度 v（切线）

分量投影（虚线）

r = (—, —, —)

拖动旋转 · 滚轮缩放

速度空间 尾巴都在原点

速度矢量 v

平均加速度 a（弦）

瞬时加速度 a（切线）

v = (—, —, —)

端点描出的曲线：速度矢端迹

核心定义

位置矢量 r = xi + yj + zk

位移 Δr = r₂ − r₁

平均速度 v = ΔrΔt （弦）

瞬时速度 v = lim_Δt→0 ΔrΔt = drdt

平均加速度 a = ΔvΔt （弦）

瞬时加速度 a = lim_Δt→0 ΔvΔt = dvdt

一句话法则

平均量（v、a）是两点之间的一条弦，瞬时量（v、a）是那一点的切线。
把 Δt 压到零，弦就倒向切线——这就是极限。

模型假设与边界

· 质点，忽略卫星自身尺度；
· 轨道为倾斜平面内的椭圆（长半轴 3.0、短半轴 2.0），轨道面由倾角 ι 与进动角 15° 决定；
· 角速度恒定 ω = 1 rad/s（一周 6.28 s），便于把"方向变化"单独看；真实椭圆轨道上速率会变，加速度也不再指向圆心——那正是下一节"变速圆周运动"要处理的；
· 忽略摄动、地球扁率与大气阻力。

现实映射

地面站对北斗卫星测到的，其实是一串带时刻的位置点——正是本页这套"差分再取极限"的做法：
用相邻两点算平均速度，把间隔压小逼近瞬时速度，再差分得加速度，才能预报它下一时刻在哪。
点越密、间隔越小，瞬时量越可信，定轨精度就越高。

课堂追问 把 Δt 从 1.50 s 拉到 0.01 s，盯住橙色箭头。它最后指向哪里？那一刻你其实已经亲手做了一次求极限。
再想一步：如果只有两个测点，会不会把"弯曲的轨道"误当成直线？卫星定轨为什么宁肯多测几个点？

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